t-분포(t-distribution, Student's t-distribution)

t-분포

t분포는 평균 검정을 하기 위해 고안되었다.

 

모집단이 정규분포를 따를 때, 표본평균은 N(μ, σ²/n)를 따른다. 과거에는 이를 이용하여 평균 검정을 해왔는데, 일반적으론 모분산인 σ²를 알 수 없다. 만약 n이 매우 크다면 표본평균은 더욱 정확히 정규분포를 따를 것이고, 표본평균의 분산이 0으로 수렴하게 될 것이다. 이 경우, σ²의 영향이 무시될 수 있을 정도가 되겠지만, 표본 수가 적을 때는 이를 이용한 검정이 신뢰성을 잃을 수 있다. 이러한 경우를 위해 정규분포와 형태는 비슷하지만 모분산 항 대신 표본분산을 이용한 분포를 고안해 만든 것이 t분포이다.

 

t-분포의 특징

• 정규분포와 다르게 t분포는 모분산 σ² 를 포함하고 있지 않다. 이는 표본 수가 적을 때 신뢰성을 더해준다.
• 표본 수가 적을 때, t분포는 표준정규분포보다 양쪽 꼬리가 더 두텁다. 이는 보다 보수적인 검정을 하게 해준다.
• 표본수가 많아지면 t분포와 표준정규분포에 근사한다.

t분포는 정규분포와 마찬가지로 좌우대칭이지만 정규분포의 표준정규분포처럼 표준이 되는 분포는 따로 없다. t분포는 표본의 수에 따라서 그래프의 모양이 변하는데, 표본의 수가 많아질 수록 점점 표준정규분포와 비슷해지고 수가 적을 수록 옆으로 퍼진다.(표본의 수가 적을 수록 신뢰도가 낮아지므로 예측범위를 넓히기 위해)

 

t분포는 확률을 구할 때 사용하지 않고, 신뢰구간과 가설검정에서 사용한다. 이 때 표본의 수가 많아야 신뢰도가 올라가는데, 표본의 수가 30개 미만일 경우 사용한다.